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确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0)(ax-sinx)/[∫ln﹙1+t³﹚/tdt]=c,上边式子后面那个积分下界是x,上界是b;如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln(1+t^3)/t等价于t^2,又积分一次应该等价
5人问答
更新时间:2022-08-15
问题描述:

确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0)(ax-sinx)/[∫ln﹙1+t³﹚/tdt]=c,

上边式子后面那个积分下界是x,上界是b;

如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln(1+t^3)/t等价于t^2,又积分一次应该等价于t^3,如果这样算c=1/6和用洛必达法则先求导做出的答案不一样.为什么不可以像我那样直接把上限都用等价无穷小替换?

写错了一个字:为什么不可以像我那样直接把上下都用等价无穷小替换?

倪宏回答:
  洛必达法则d/dx(ax-sinx)=a-cosxd²/dx²(ax-sinx)=sinxd/dx∫(x,b)ln(1+t³)/tdt=-ln(1+x³)/x-x²d²/dx²∫(x,b)ln(1+t³)/tdt=-2x==>原式=...
李尔国回答:
  d/dx∫(x,b)ln(1+t³)/tdt=-ln(1+x³)/x~-x²这个怎么会得出负号呢?
倪宏回答:
  因为x是下限,由变上限的求导公式,就会产生负号d/dx∫(x,b)f(t)dt=d/dx[-∫(b,x)f(t)dt]=-f(x)我找到的答案是a=1,b=0,c=-1/2你那个做法没问题,只是过程中对t求积分那个是t^3/3而不是t^3你那个「上限都用等价无穷小替换」是什么意思?
李尔国回答:
  我打错了一个字,不好意思,我的意思是上下两个式子都用等价无穷小替换。
倪宏回答:
  分子中的那个sinx不能直接用等价无穷小sinx~x,因为是加减关系但是可用x-sinx~x³/6,这个是从泰勒公式得到的等价无穷小(替换整个分子,重点是跟分母同阶)总之要符合等价无穷小的要求,乘除可以,加减不可以,除非换成泰勒公式
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