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如图,已知抛物线与x轴交于点A,与y轴交于点B,动点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度在线段OA上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒
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问题描述:

如图,已知抛物线与x轴交于点A,与y轴交于点B,动点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度在线段OA上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒。

问:△AON能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由。

靳尔东回答:
  ∵抛物线与x轴交于点A,与y轴交于点B, ∴A(2,0)B(0,4)即OA=2OB=4。∴tan∠OAB=2。若△AON为等腰三角形,有三种情况: (I)若ON=AN,如图1所示,过点N作NQ⊥OA于点Q,则Q为OA中点,OQ=OA=1,∴t=。∴t=。 (III)若OA=AN,如图3所示,过点N作NQ⊥OA于点Q,设AQ=x,则AQ•tan∠OAB=2x,在Rt△AND中,由勾股定理得:NQ2+AQ2=AN2,即,解得x1=,x2=(舍去)。∴x=,OD=2﹣x=2﹣。∴t=1﹣。综上所述,当t为秒、秒,1﹣秒时,△AON为等腰三角形。   【考点】双动点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,待定系数法,矩形的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,解一元二次方程,分类思想的应用。
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